Introduction E9F5FC

Questions FFFFC0

• View
• Edit
• History
• Print

代数拓扑

Kyler Siegel. Bott Periodicity and Clifford Algebras. 2012.

• The Lie group {$GL(n,F)$} is homotopy equivalent to any maximal compact subgroup. Thus {$GL(n,\mathbb{C})\cong U(n)$} and {$GL(n,\mathbb{R})\cong O(n)$}. Note that these do not contain {$0$} because it is noninvertible.
• Compare this to the winding number for functions {$f:S^1\rightarrow \mathbb{C} \setminus \{0\}$}. In homotopy, {$\mathbb{C} \setminus \{0\}\cong S^1$}.

Daisuke Kishimoto. Generating varieties, Bott periodicity and instantons. 2009.

• Let G be a compact connected simple Lie group. Then there is an isomorphism {$\pi_3 (G) \cong \pi_4(BG) \cong \mathbb{Z}$}. We will will fix an isomorphism {$\pi_3(G)\cong\mathbb{Z}$}. Then principal G-bundles over {$S^4$} are classified by {$\mathbb{Z}=\pi_3(G)$}, and denote by {$P_k$} the principal G-bundle over {$S^4$} corresponding to {$k\in\mathbb{Z}$}. Let {$C_k(G)$} be the based moduli space of connections on {$P_k$}. Then we have a natural homotopy equivalence {$C_k(G) \cong \Omega_k^3 G$} where {$\Omega_k^3 G$} stands for the path component of {$\Omega^3 G$} corresponding to {$k\in\mathbb{Z}=\pi_3(G)$}. We will identify {$C_k(G)$} with {$\Omega_k^3 G$} by this homotopy equivalence. Let {$M_k(G)$} be the based moduli space of instantons on {$P_k$}. Then we have a map {$\theta_k:M_k(G)\rightarrow\Omega_0^3 G$} defined by the composite of the inclusion {$M_k(G)\rightarrow\Omega_k^3(G)\cong C_k(G)$} and the homotopy equivalence {$\Omega_k^3 G\cong \Omega_0 G$}, the shift by {$-k\in\mathbb{Z} = \pi_3(G)$}.
• Tai-Danae Bradley. One Line Proof of the Fundamental Group of the Circle
• Tai-Danae Bradley. The Fundamental Group of the Circle. Six part series.

{$\pi_1(S^1)\cong\pi_0(\Omega S^1)\cong\pi_0(\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$}

Bott periodicity

Bott topologijos nusako visus įmanomus poslinkius.

• Yra poslinkis iš vienybės į nulybę.
• Yra poslinkis iš dvejybės nario į vienybės narį.
• Ketverybė iškyla iš vieno trejybės posūkio tarp begalybės posūkių, kuriuo viskas suderinta, išaiškinta, tobulai išbaigta. Tai grindžia poslinkį tarp poslinkių, siejantį žinojimą ir nežinojimą kažko su visko.
• Nulybė iškyla iš vieno septynerybės posūkio tarp begalybės posūkių, tai yra, dviejų pašnekovų sulyginimas, suderinimas, baigiasi paskiro dalyko atskyrimu, kurio pagrindu viskas žinoma ir viskas nežinoma, vėlgi suderinant žinojimą ir nežinojimą visko su kažko.

Isometrijos tai papildo

• {$J_3J_4$} bene sieja trejybės ir ketverybės išeities taškus, o {$J_7J_8$} septynerybės ir aštuonerybės. Panašiai, galima panagrinėti {$J_kJ_{k+1}$} ir geodezių reikšmę.

Posūkio atrinkimas iš begalybės posūkių vyksta pereinant į sąmonę.